(木) 数学的帰納法

　こんにちわ、
管理人さんですね。

　今日は数学的帰納法のすばらしさについて。
数学が嫌いな番長にもぜひ読んで欲しいですね。
1 + 2 + 3 + ･･･ + (n-2) + (n-1) + n = 1/2n(n+1)
を数学的帰納法で証明します。
数学的帰納法を使わなくても簡単に解けるけどね。
すばらしさをわかってもらうために簡単な例で。
ちなみに右辺は2分の1掛けるN掛ける括弧Nプラス1ね。


これから、数学的帰納法で証明する。
(1)　n=1の時、
(左辺)=1
(右辺)=1/2×1×(1+1)=1
よってn=1の時は成り立つ。


(2)　n=k　(kは自然数)　の時、
1 + 2 + 3 + ･･･ + (k-2) + (k-1) + k = 1/2k(k+1)　･･･<１>
が成り立つと仮定すると、
n=k+1について、
(右辺)= 1/2(k+1)(k+2)
(左辺)=1 + 2 + 3 + ･･･ + (k-2) + (k-1) + k + (K+1)
=1/2k(k+1) +(k+1) (<1>より)
=1/2(k+1)(k+2) = (右辺)　　〔1/2(k+1)で括ったのね〕
よってn=k+1についても成り立つ。
(1)、(2)より証明された。
？？？？？？？？
でしょ？
俺も最初数学的帰納法の説明を受けた時思った。
だけど、証明されてるんだよね。
ドミノ倒しを想像してみて。
n=1の時は正しい証明して、 n=kが正しければ、
n=k+1が正しいと証明したからk=1とすると、
k+1の時が正しいつまり、k=2が正しい。
k=2の時が正しければ、k+1の時が正しいつまりk=3が正しい・・・。
って続くわけ。
凄くない？

管理人の名言その１６２
楽々チンチンだね。